[转载]黎曼积分与勒贝格积分

[转载]黎曼积分与勒贝格积分 (2013-12-11 15:17:58)

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原文地址：黎曼积分与勒贝格积分作者：净水幽萍

内容摘要  本文将从积分的定义，可积函数的连续性，积分的可加性，积分极限定理，牛顿—莱布尼兹公式五个方面进行分析比较，指出黎曼积分与勒贝格积分的区别。

黎曼积分是数学分析中的重要内容，勒贝格积分是实变函数论中的主要内容。就可积函数的范围来看，勒贝格积分比黎曼积分更广泛。这两种积分既有密切的联系，又有本质的区别。若函数在上黎曼可积，则它必在上勒贝格可积，且有相同的积分值，但勒贝格可积不一定黎曼可积。在教材及参考书中，有关黎曼积分与勒贝格积分的区别的内容讲的很少，也缺乏条理性和系统性，而由黎曼积分过渡到勒贝格积分，理解起来也有一定的困难。本文将从积分的定义，可积函数的连续性，积分的可加性，积分极限定理，牛顿—莱布尼兹公式五个方面进行分析比较，指出黎曼积分与勒贝格积分的区别。为便于叙述，我们只考虑上有界函数的积分。

一．定义

（一）黎曼积分的定义

1．黎曼积分是建立在黎曼和的基础上的，因此简单说明黎曼和的概念。

区间[a,b]上有定义的实值函数f，关于取样分割   ，  黎曼和定义为 和式中的每一项是子区间长度 在 处的函数值 的乘积。直观地说，就是以标记点 到 轴的距离为高，以分割的子区间的长的矩形的面积。

2．黎曼积分：有了黎曼和得定义，我们不难想象，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限，当分割越来越细的时候，[ ]中的函数值才会与 接近,矩形面积的和与“曲线下方的面积差也会越来越小。总结起来，也就是分割，取界点，做积，求和，取极限。

   面 给出黎曼积分的严格定义：

   设 是定义在区间[a,b]上的一个函数， 是一个确定的实数，若对任给的正数 ，总存在某一个正数 ，使得对[a,b]上的任何分割T,以及在其上任意选取的点集 ，只要 ＜ ，就有

＜

   则称函数 在区间[a,b]上是黎曼可积，数 成为 在区间[a,b]上的定积分或黎曼积分。记为 = ，那么就有 = =

（二）勒贝格积分的定义

   积分是现代数学中的一个积分的概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中，因此我们先要了解什么是外侧度？什么是可测集？

1.  外侧度：设{ }(k=1,2,… …)是有限或可数个开区间，这些开区间覆盖了E，由{ }(k=1,2,… …)决定了一个非负广义实数u= ,一切这样的u是下有界的，所以有下确界，把这个下确界称为集E的外侧度，记为 ，即 = .

2.  测度 可测集

设集E ，偌对任意集X ，都有

X= (X )+ (X )

则称集E是可测集，这时把 称为集E的测度,为mE。

3.  勒贝格积分：

（1）非负简单函数的积分：设E为 中的一个可测集，mE<+ ,f在E上几乎处处有界, { }，(i=1,2… …m.)为E的一个分化， （i≠j）,而且可测， ， 。上和为 ,下和为 。下积分： { ，任一个分划D }，上积分 { ，任一个分划D}。若 = ，则称f在E上勒贝格积分存在，记为 。若 ＜+∞,则称f在E上勒贝格可积。

   （2）非负可测函数的积分：设f(x)是可测集E 上的非负可测函数，{ }是收敛于f(x)的非负上升简单函数列。称 为f(x)在E上的勒贝格积分值，记为 。若积分值有限，则称f(x)在E上勒贝格可积。

（3）设f(x)是定义于可测集E 上的可测函数，如果 不同时为∞，则称 = 是f(x)在E上的勒贝格积分值，若积分值有限，则称f(x)在E上是勒贝格可积。在E上可积的全体函数记为L（E）.

从这两种积分的定义可以看出，它们的主要区别是：黎曼积分将给定函数的定义域分小而产生的，而勒贝格积分是划分函数的值域而产生的。前者的优点是的度量容易给出，但当分法的细度充分小时，函数在上的振幅仍可能较大；后者的优点是函数在上的振幅，但一般不再是区间，而是可测集。其度量的值一般不易给出。然而就是这一点点差别，使这两种积分产生了本质的区别，使勒贝格积分具备了很多为黎曼积分所不具有的良好性质，这些性质从以下几点讨论中我们将会看得更清楚。我们将会看到，勒贝格积分比黎曼积分的应用范围更广泛，使用起来更方便。由此可见，比起黎曼积分来，勒贝格积分是向前迈了一大步。

二．可积函数的连续性

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