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江苏省兴化市戴南高级中学09届高三高考模拟考试（5.12）
数学试题1．已知虚数z满足等式：
2z?z?1?6i，则z?
．
2．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是．3．已知集合A?{x|x?5}，集合B?{x|x?a}，若命题“x?A”是命题“x?B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．4．某校学生张超的学籍号码是200608251，2006表示入学年份，08表示所在班级，25表示他在班上的学号，1表示男性（2表示女性），若今年考入该校的黄艳将被编入12班，在班上的学号为6号，则她的学籍号码的各位数字和等于．
},5．集合A?{3,log2a},B?{a,b若A?B?{2},则A?B?
．
50
6．一简单组合体的三视图及尺寸如右图示（单位：ｃｍ）则该组合体的表面积为
?
cm2．
?
10主视图
7．向量a?(cos10,sin10),b?(cos70,sin70)，
40侧视图
a?2b=
．
20
8．方程xlg(x?2)?1有
个不同的实数根．
2020俯视图
9．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：喜爱打篮球男生女生合计下面的临界值表供参考：
p(K?k)
2
不喜爱打篮球５１５２０0.053.841
2
合计２５２５５０0.0106.6350.0057.8790.00110.828
２０１０３０0.152.0720.102.706
0.0255.024
k
则根据以下参考公式可得随机变量K的值为有％的把握认为喜爱打篮球与性别有关．
2
、（保留三位小数）
(参考公式：K?
n(ad?bc)2，其中n?a?b?c?d)(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
10．已知等比数列?an?中，a2?a3?1，则使不等式
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(a1?
11)?a2?(a1a2
)?a3(
1?a3
1)n?a?(?na
?)0?成立的最大自然数n是
．
11．若函数f?xmx2?lnx?2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是
．
12．如果圆(x?a)2?(y?a)2?4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是．．
．已知实数x,y满足x?x?1?y?3?y，则x?y的最大值为14．当n为正整数时，函数N(n)表示n的最大奇因数,如N(3)?3,N(10)?5,?,设Sn?N(1)?N(2)?N(3)?N(4)?...?N(2n?1)?N(2n),则Sn?
．
二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）在ΔABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=10，且（1）求角C的大小；（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，?PAB?60，求四边形ABCP的面积。
?
cosAb4cosBa3
16．（本题满分14分）如图，△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，AB?2，BC?1，设AE与平面ABC所成的角为?,且tan
3,四边形DCBE为平行2
四边形，DC?平面ABC．（1）求三棱锥C－ABE的体积；（2）证明：平面ACD?平面ADE；（3）在CD上是否存在一点M，使得MO‖平面ADE？证明你的结论．
17．（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：x?2．
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⑴求椭圆的标准方程；⑵设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．18．（本题满分16分）某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，第开始一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩．（1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？n=2002（2）右图是某同学设计的解决问题（１）的程序框图，则框图中ｐ，ｑ，i＝1ｒ处应填上什么条件？（3）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率s＝0为20％，那么到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？（精确到１立方米,1.2?4.3）
8
t=100+50x(i-1)
s=s+t
pq
r?
是输出n
否
19．（本题满分16分）已知函数f(x)?
结束
lnx?xx
（1）求函数f(x)的最大值；（2）设m?0，求f(x)在[m,2m]上的最大值；(3)试证明：对?n?N，不等式ln
?
1?n1?n?2恒成立．nn
20．（本题满分16分）已知k?R,函数f(x)?mx?k?nx(0?m?1,0?n?1).(1)如果实数m,n满足m?1,mn?1,函数f(x)是否具有奇偶性？如果有,求出相应的k值,如果没有，说明为什么?(2)如果m?1?n?0,判断函数f(x)的单调性；1(3)如果m?2，n?，且k?0，求函数y?f(x)的对称轴或对称中心.2
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（加试题卷）21.【选做题】在下面A,B,C,D四个小题中选择两题作答，每小题10分，共20分.要写出必要的文字说明或演算步骤.A．选修4—1几何证明选讲在直径是AB的半圆上有两点M,N,设AN与BM的交点是P.求证:AP?AN?BP?BM?AB2
B．选修4—2
矩阵与变换
已知矩阵M
?2a，其中a?R，若点P(1,?2)在矩阵M的变换下得到点P?(?4,0)，?21?
（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.
C．选修4—4参数方程与极坐标求圆3cos?被直线?
?x?2?2t,（t是参数)截得的弦长.?y?1?4t
D．选修4—5不等式证明选讲已知a,b是不相等的正实数，
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求证：(a2b?a?b2)(ab2?a2?b)?9a2b2.
【必做题】第22题和第23题为必做题,每小题10分，共20分.要写出必要的文字说明或演算步骤.22.已知四棱锥P?ABCD的底面ABCD是直角梯形，
AD‖BC,?ABC?90?,PA?平面ABCD,
AB?BC?2AD,若平面PCD与平面PAB所成
A
P
D
二面角的余弦值为
PA6，求的值。AD3
B
(第22题)
C
23.已知an?An?An?An
12n
?n?1,2,3,，当n≥2时，求证：
⑴an?1?1?⑵(1?
an；n
11111)(1?)(1?)?(1?)≤3?a1a2a3ann
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兴化市戴南高级中学09届高三高考模拟考试（5.12）数学试题参考答案与评分标准一、填空题1.1+2i8.214.2.63.a?510.54.225.{2,3,4}11.m≥
12
6.12800ｃｍ212.(?
7.3
9.8.333、99.5；
32232,?)?(,2)13.42222
4n?23二．解答题
15.解：由正弦定理得
cosAsinB?，整理为sinAcosA?sinBcosB，cosBsinA
即sin2A?sin2B∴2A?2B或2A?2B即A?B或A?B?
?
2
b4∵?，∴A?B舍去。a3
由A?B?
?
2
可知c?
?
2
；…………7分
（2）由（1）及c?10得a?6,b?8
在RtΔABC中，sin?CAB?
?
BC34?,cos?CAB?AB55
（第15题图）
∴sin?PAC?sin(60CAB)?sin60cos?CAB?cos60sin?CAB
=
34131(43?3)252510
cos连PB，在RtΔABP中，AP?ABPAB?5
∴S四边形ABCD?S?ABC?S?PAC?
11AC?BC?AP?AC?sin?PAC22
1118?65?8?(43?3)?18?83………………14分221016．（１）∵四边形DCBE为平行四边形∴CD//BE∵DC?平面ABC∴BE?平面ABC∴?EAB为AE与平面ABC所成的角，即?EAB＝?--------------------2分
在Rｔ△ABE中，由tan
BE3,AB?2得BE?3------------3分?AB2
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∵AB是圆O的直径∴BC?AC∴AC?∴S?ABC?
AB2?BC2?3
---------------------------------------4分AC?BC?22
1131S?ABC?BE?3?------------------5分3322
∴VC?ABE?VE?ABC?
（2）证明：∵DC?平面ABC,BC?平面ABC∴DC?BC．--------------------6分∵BC?AC且DC?AC?C∴BC?平面ADC．∵DE//BC∴DE?平面ADC---------------------------------------8分又∵DE?平面ADE∴平面ACD?平面ADE--------9分（3）在CD上存在点M，使得MO?平面ADE，该点M为DC的中点．------------10分证明如下：如图，取BE的中点N，连MO、MN、NO，∵M、N、O分别为CD、BE、AB的中点，∴MN?DE．----------------------------------------------11分∵DE?平面ADE，MN?平面ADE，∴MN?平面ADE----------------------------------------12分
同理可得NO?平面ADE．∵MN?NO?N，∴平面MNO‖平面ADE．-----------------------------------13分∵MO?平面MNO，∴MO?平面ADE．---------------------------------------------14分（其它证法请参照给分）17.解：⑴∵椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：x?2，∴不妨设椭圆C的方程为
x2?y2?1．-----------------------2分2a
即c?1．-----------------------5分
∴
a21?c2（2，4分）cc
∴椭圆C的方程为
x2?y2?1．-----------------------6分2
⑵F（1，0），右准线为l：x?2，设N(x0,y0)，则直线FN的斜率为kFN?
y0y0，直线ON的斜率为kON?，--------------------8分x0?1x0
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∵FN⊥OM，∴直线OM的斜率为kOM
x0?1，y0
∴直线OM的方程为：y
x0?12(x0?1)x，点M的坐标为M(2,?)．------------11分y0y0
∴直线MN的斜率为
y0?kMN?
2(x0?1)y0．x0?2
∵MN⊥ON，∴kMN?kON1，
∴
y0?
2(x0?1)y0y，?01x0?2x0
22
∴y0?2(x0?1)?x0(x0?2)?0，即x0?y0?2．-----------------------13分
2
∴ON
?2为定值．-----------------------14分
18.解：（1）设植树ｎ年后可将荒山全部绿化，记第ｎ年初植树量为an，依题意知数列{an}是首项a1?100，公差d?50的等差数列，---------------------1分则100n?∵n?N
?
n(n?1)?2200即n2?3n?88?0?(n?11)(n?8)?0-----------------3分2
∴n?8----------------------------------------------------4分
∴到2009年初植树后可以将荒山全部绿化．--------------------------------5分（２）ｐ处填n?n?1,ｑ处填i?i?1，（或ｐ处填i?i?1，ｑ处填n?n?1）----7分ｒ处填s2200．(或s?2200)-------------------------------------------9分（３）2002年初木材量为2a1m，到2009年底木材量增加为2a1(1.2)8m,2003年初木材量为2a2m，到2009年底木材量增加为2a2(1.2)7m,2009年初木材量为2a8m，到2009年底木材量增加为2a8?1.2m.
333333
则到2009年底木材总量S?2a1?1.28?2a2?1.27?2a3?1.26?2a8?1.2
S?900?1.2?800?1.22?400?1.26?300?1.27?200?1.28----①---11分1.2S?900?1.22?800?1.23?400?1.27?300?1.28?200?1.29------②
②-①得
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0.2S?200?1.29?100?(1.22?1.23?1.28)?900?1.2?700?1.29?500?1.22?900?1.2
?840?1.28?1800?840?4.3?1800?1812
∴S?9060ｍ2答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为9060ｍ2--------------------------------16分19.解：（１）∵f(x)?
1?lnx?1-----------------------------------1分x2
2
令f(x)?0得x?1?lnx显然x?1是上方程的解------------------------------------------------------------3分令g(x)?x2?lnx?1，x?(0,)，则g(x)?2x?∴函数g(x)在(0,)上单调∴x?1是方程f(x)?0的唯一解------------------------------------------------5分∵当0?x?1时f(x)?
1?0x
1?lnx?1?0，当x?1时f(x)?0x2
∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减∴当x?1时函数有最大值f(x)max?f(1)1-------------------------------7分（２）由（１）知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减故①当0?2m?1即0?m?∴f(x)max?f(2m)＝
1时f(x)在[m,2m]上单调递增2
ln2m?2m------------------------------8分2m
②当m?1时f(x)在[m,2m]上单调递减
lnm?m---------------------------------10分m1③当m?1?2m，即?m?1时2
∴f(x)max?f(m)＝
f(x)max?f(1)1------------------------------------------12分
（３）由（１）知当x?(0,)时，f(x)max?f(1)1∴在(0,)上恒有f(x)?
lnx?x1，当且仅当x?1时“＝”成立x
∴对任意的x?(0,)恒有lnx?x(x?1)----------------------------------14分
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1?n1?n1?n1?n?(?1)?2nnnn1?n1?n2恒成立．---------------------------16分即对?n?N，不等式lnnn
∵∴ln
1?n?1n
20.（1）如果f(x)为偶函数，则f(?x)?f(x),
m?x?k?n?x?mx?k?nx恒成立，-----------------------1分
即：nx?k?mx?mx?k?nx,(nx?mx)?k(mx?nx)?0,(nx?mx)(k?1)?0由nx?mx?0不恒成立，得k?1.-----------------------3分如果f(x)为奇函数，则f(?x)f(x),
m?x?k?n?xmx?k?nx恒成立，-----------------------4分
即：nx?k?mxmx?k?nx,(nx?mx)?k(mx?nx)?0,----------------------5分
(nx?mx)(k?1)?0,由nx?mx?0恒成立，得k1.-----------------------6分
（2）?m?1?n?0,
m?1，n
∴当k?0时,显然f(x)?mx?k?nx在R上为增函数；-----------------------8分
mxxxx当k?0时，f?(x)?mlnm?knlnn?[()lnm?klnn)]n?0，nmxmxlnnklogmn,由nx?0,得()lnm?klnn?0,得()knnlnm
得∴当当
x?logm(?klogmn)
n
.-----------------------9分时,f?(x)?0,f(x)为减函数;时,f?(x)?0,f(x)为增函数.-----------------11分
x?(,logm(?klogmn)]
n
x?[logm(?klogmn),)
n
(3)当m?2,n?
1时，f(x)?2x?k?2?x,2
如果k?0,f(x)?2x?k?2?x?2x?(?k)?2?x?2x?2log2(?k)?2?x?2x?2log2(?k)?x，则f(log2(?k)?x)f(x),
1∴函数y?f(x)有对称中心(log2(?k),0).-----------------------13分2
如果k?0,f(x)?2x?k?2?x?2x?2log2k?2?x?2x?2log2k?x,-----------------------14分则f(log2k?x)?f(x),
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1∴函数y?f(x)有对称轴x?log2k.-----------------------16分2
数学加试题参考答案及评分标准
21．A．选修4—1几何证明选讲证明:作PE?AB于E?AB为直径,
ANBAMB?90P,E,B,N四点共圆,P,E,A,M四点共圆.-----------------------4分
AE?AB?AP?AN(1)BE?AB?BP?BM(2)
-----------------------8分
(1)+(2)得AB(AE?BE)?AP?AN?BP?BM即AP?AN?BP?BM?AB2-----------------------10分21．B．选修4—2矩阵与变换解：（1）由?
?2a1?4=，?21?20?
∴2?2a4?a?3.
-------------------4分
（2）由（1）知M
?23，则矩阵M的特征多项式为?21(2)(1)?62?34
f(?)?
2
?2
?3
1
令f(?)?0，得矩阵M的特征值为?1与4.-----------------------6分当?1时，?
?(2)x?3y?0?x?y?02x?(1)y?0?1;-----------------------8分1?
∴矩阵M的属于特征值?1的一个特征向量为?
当4时，?
?(2)x?3y?0?2x?3y?02x?(1)y?0
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∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.21．C．选修4—4参数方程与极坐标将极坐标方程转化成直角坐标方程：
?32?
-----------------------10分
393cos?即：x2?y2?3x，即(x?)2?y2?；-----------------------4分24
?x?2?2t即：2x?y?3-----------------------7分y?1?4t
所以圆心到直线的距离d?
320?322?(?1)
22
?0，即直线经过圆心，-------------------9分
所以直线截得的弦长为3.-----------------------10分21．D．选修4—5不等式证明选讲因为a,b是正实数，所以a2b?a?b2≥33a2b?a?b2?3ab?0（当且仅当a2b?a?b2即；-----------------------3分a?b?1时，等号成立）同理：ab2?a2?b≥33ab2?a2?b?3ab?0（当且仅当ab2?a2?b即a?b?1时，等号成立）；-----------------------6分所以：(a2b?a?b2)(ab2?a2?b)≥a2b2.9（当且仅当ab2?a2?b即a?b?1时，等号成立）；-----------------------8分因为：a?b，所以：(a2b?a?b2)(ab2?a2?b)?9a2b2.-----------------------10分22．解：以点A为坐标原点,以
AB,AD,AP分别为x,y,z轴,建立如图
z
P
空间直
角坐标系,不妨设AD?1,PA?a,则
P(0,0,a),D(0,1,0),C(2,2,0).→所以PD?(0,1,0),DC?(2,1,0).
设平面SDC的法向量为m?(x,y,z),
则PD?m?y?za?0
(A)
D
O
C
y
①
B
x
第22题
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DC?m?2x?y?0
②
不妨设z?2,则y?2a,xa,即m?(?a,2a,2).2分又因为PA?平面ABCD,所以DA?PA,又因为AD‖BC,?ABC?90?,所以DA?AB,故DA?平面PAB,即AD是平面PAB的一个法向量,且AD?(0,1,0),4分
m?AD因为cos?m,AD=mAD
2a4?5a2
,?6分
又平面PDC与平面PAB所成二面角的余弦值为
6.3
?10分
故
2a4?5a2
?
6PA?2．,解得a?2,因此AD3
23．（1）因为Ak?n
(n?1)!n!?1?nnAk?1(2?k?n)，n(n?k)![(n?1)?(k?1)]!
所以当n?2时，
an11?(A1?A2?An)=[n?(nA1?1?nAn?1)]nnnnn?1nnn
?1?(A1?1?An?1)?1?an?1.nn?1
所以an?1?1?
an．n
4分
（2）由（1）得
an?1?1aa1?n，即1n，an?1nan?1an?1nan?1
所以(1?
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